Аффинно максимальная поверхность

Аффинная максимальная поверхность

В аффинной дифференциальной геометрии аффинной максимальной поверхностью называется гладкая, локально строго выпуклая поверхность, аффинная средняя кривизна которой тождественно равна нулю. Это понятие возникло в работах Эудженио Калаби о гиперповерхностях, критических для аффинного функционала площади, где было показано, что такие поверхности локально максимизируют аффинную площадь среди вариаций с фиксированным ограниченным объемом. Значительная часть последующей теории формулируется в терминах нелинейных эллиптических уравнений типа уравнения Монжа — Ампера и была развита Нилом С. Трудингером, Сюй-Цзя Ваном и другими.

Определение

Пусть (M,∇,h) — эквиаффинное многообразие (например, A³ с его стандартной плоской связностью и формой объема), и пусть N⊂M — гладкая, ориентированная погруженная поверхность. Относительно эквиаффинной структуры существует выделенное трансверсальное векторное поле — нормаль Блашке, и индуцированная аффинная метрика g и оператор формы S на N. Аффинная средняя кривизна определяется как H_aff = 1/2 tr_g S.

Поверхность N называется аффинной максимальной поверхностью, если H_aff ≡ 0.

Эквивалентно, N является критической точкой аффинного функционала площади A(N) = ∫_N dμ_aff, где dμ_aff — мера аффинной площади, индуцированная метрикой Блашке, и такие поверхности локально максимизируют аффинную площадь среди вариаций, сохраняющих ограниченный объем. Исторически такие поверхности назывались аффинными минимальными поверхностями, пока Калаби не заметил это свойство максимальности.

Аффинные максимальные поверхности обобщаются на высшие размерности: локально строго выпуклая гиперповерхность размерности n в эквиаффинном (n+1)-многообразии называется аффинной максимальной гиперповерхностью, если её аффинная средняя кривизна тождественно равна нулю.

Примеры

В стандартном эквиаффинном трехмерном пространстве A³≅R³ любая локально строго выпуклая поверхность может быть локально представлена как график гладкой функции u:Ω⊂R²→R с положительно определенным гессианом.

• Квадратичные примеры. График любого квадратичного многочлена

u(x) = 1/2 x^T Q x + ℓ(x) + c, Q положительно определенная, является несобственной аффинной сферой, следовательно, имеет нулевую аффинную среднюю кривизну и является аффинной максимальной поверхностью.

• Эллиптический параболоид и теоремы типа Бернштейна. Ш. Ш. Черн предложил аффинную проблему Бернштейна, спрашивая, должна ли каждая евклидово полная, локально строго выпуклая аффинная максимальная поверхность в R³ быть эллиптическим параболоидом. Трудингер и Ван доказали, что евклидово полная, локально равномерно выпуклая аффинная максимальная поверхность в R³ является эллиптическим параболоидом. Вместе с их решением проблемы полноты для аффинных метрик это implies, что любая аффинно полная, локально равномерно выпуклая аффинная максимальная поверхность в R³ является эллиптическим параболоидом.

• Поверхности с особенностями. Мотивированные жесткостью полных примеров, развилась программа по изучению аффинных максимальных поверхностей с изолированными особенностями и более общим ветвлением. Систематическое рассмотрение погруженных аффинных максимальных поверхностей с допустимыми множествами особенностей и их глобальных свойств дано Аледо, Мартинесом и Миланом.

Характеризации

Аффинные максимальные поверхности допускают несколько эквивалентных описаний. В локальных координатах, адаптированных к строго выпуклому графику, условие аффинной максимальности является уравнением Эйлера — Лагранжа для аффинного функционала площади и может быть выражено как эллиптическое уравнение четвертого порядка полностью нелинейного типа Монжа — Ампера. Связанная аналитическая теория связывает аффинные максимальные поверхности с регулярностью и краевыми задачами для уравнения Монжа — Ампера и его линеаризации.

Уравнение Монжа — Ампера

Пусть u:Ω⊂Rⁿ→R — гладкая, локально равномерно выпуклая функция, и рассмотрим её график в Rⁿ⁺¹. Обозначим D²u=(u_ij) для гессиана u и U^ij для матрицы кофакторов D²u, так что U^ij положительно определена, когда D²u положительно определена. Аффинный функционал площади есть A[u] = ∫_Ω (det D²u)^(1/(n+2)) dx.

Уравнение Эйлера — Лагранжа для этого функционала — уравнение аффинной максимальной поверхности U^ij w_ij = 0, w = (det D²u)^(−(n+1)/(n+2)), которое является эллиптическим, когда u выпукла. Это уравнение может рассматриваться как линеаризованное уравнение Монжа — Ампера, действующее на функцию w, и оно аффинно инвариантно.

Аффинные максимальные гиперповерхности возникают как локальные максимизаторы функционала A[u] и, обратно, любое достаточно регулярное выпуклое решение уравнения аффинной максимальной поверхности определяет аффинную максимальную гиперповерхность. Регулярность и граничное поведение решений изучаются с использованием общей теории уравнения Монжа — Ампера и его линеаризации.