Вогнутая игра
Вогнутая игра В теории игр вогнутая игра — это обобщение нормальной формы игры, в которой стратегическое пространство каждого игрока может быть произвольным выпуклым множеством, а не только симплексом. Это понятие было введено Розеном, который расширил теорему о существовании равновесия Нэша, доказанную Джоном Нэшем для нормальных форм игр, на вогнутые игры.
- Определения
Во вогнутой игре с n игроками стратегия каждого игрока i представляет собой вектор si в евклидовом пространстве ℝmi. Обозначим m := m1 + ... + mn; тогда профиль стратегий — это вектор в ℝm. Определение игры включает подмножество S пространства ℝm, в котором должен находиться профиль стратегий. Это означает, что действия игроков могут быть ограничены в зависимости от действий других игроков.
Частным случаем является ситуация, когда S представляет собой декартово произведение выпуклых множеств S1, ..., Sn, так что стратегия игрока i должна принадлежать Si. Это соответствует случаю, когда действия каждого игрока i ограничены независимо от действий других игроков; такие множества называются ортогональными ограничениями. Общий случай называется связанными ограничениями.
Классическая нормальная форма игры соответствует частному случаю ортогональных ограничений, в котором каждое множество Si является симплексом (представляющим все возможные смеси чистых стратегий), а функции выигрыша всех игроков билинейны относительно стратегий.
- Существование равновесия
Если выполняются следующие условия:
- S — выпуклое, замкнутое и ограниченное множество;
- Каждая функция выигрыша ui непрерывна по стратегиям всех игроков и вогнута по si для любого фиксированного значения s−i,
то равновесие существует. Доказательство использует теорему Какутани о неподвижной точке. Розен также показал, что при определённых технических условиях, включающих строгую вогнутость, равновесие является единственным.
Результат Нэша соответствует частному случаю, когда каждое Si является симплексом, а функции выигрыша всех игроков билинейны относительно стратегий.