Гипотеза Шона — Яу

Гипотеза Шона — Яу — это опровергнутое предположение в геометрии Лобачевского, названное в честь математиков Шона и Яу Шинтуна. Она возникла под влиянием теоремы Хайнца, доказанной в 1952 году. Одним из способов её опровержения стало применение поверхности Шерка, что было выполнено Коллином и Паскалем в 2006 году.

Формулировка гипотезы

Рассмотрим комплексную плоскость \(\mathbb{C}\) как риманово многообразие с плоской римановой метрикой. Пусть \(\mathbb{H}\) обозначает пространство Лобачевского, то есть единичный круг:

\[ \mathbb{H} := \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1 \} \]

с гиперболической метрикой:

\[ \mathrm{d}s^2 = 4 \frac{\mathrm{d} x^2 + \mathrm{d} y^2}{(1 - (x^2 + y^2))^2}. \]

В 1952 году Э. Хайнц установил, что не существует гармонического диффеоморфизма:

\[ f : \mathbb{H} \to \mathbb{C}. \]

На основе этого результата Шон выдвинул гипотезу о том, что не может существовать гармонического диффеоморфизма:

\[ g : \mathbb{C} \to \mathbb{H}. \]

Связь имени Яу с гипотезой остаётся не до конца ясной; в неопубликованной переписке с Гарольдом Розенбергом оба математика указали, что автором гипотезы является Шон. Впоследствии гипотеза Шона — Яу была опровергнута.

Комментарии

Основное внимание в гипотезе уделяется вопросу существования гармонической диффеоморфии, которая обладает «односторонним» характером. Предположим, что \(M\) и \(N\) — два римановых многообразия с соответствующими метриками. Введём обозначение:

\[ M \sim N \]

если \(M\) и \(N\) диффеоморфны, и

\[ M \propto N \]

если существует гармонический диффеоморфизм из \(M\) в \(N\). Отношение \(\sim\) является отношением эквивалентности в категории римановых многообразий, в частности, симметричным:

\[ M \sim N \iff N \sim M. \]

Можно показать, что гиперболическая плоскость и комплексная плоскость диффеоморфны:

\[ \mathbb{H} \sim \mathbb{C}, \]

однако вопрос об их гармонической диффеоморфности остаётся открытым. Теорема Хайнца и опровержение гипотезы Шона — Яу демонстрируют, что отношение \(\propto\) не является симметричным:

\[ \mathbb{C} \propto \mathbb{H}, \quad \text{но} \quad \mathbb{H} \not \propto \mathbb{C}. \]

Таким образом, гармонический диффеоморфизм представляет собой более строгое условие, чем обычный диффеоморфизм, и может устанавливать отношение только в одном направлении.

Литература

Категория: Опровергнутые гипотезы Категория: Геометрия Лобачевского