Гипотеза о кручении

Гипотеза о кручении, также известная как гипотеза о равномерной ограниченности точек кручения, является важным утверждением в алгебраической геометрии и теории чисел. Она предполагает, что порядок периодической группы абелева многообразия над алгебраическим числовым полем может быть ограничен в зависимости от размерности многообразия и характеристик поля. Усиленная версия гипотезы утверждает, что кручение ограничивается через размерность многообразия и степень поля. Для эллиптических кривых данная гипотеза была полностью опровергнута.

Эллиптические кривые

В период с 1906 по 1911 год Беппо Леви опубликовал серию работ, посвящённых исследованию возможных конечных порядков точек на эллиптических кривых над полем рациональных чисел. Он установил, что существует бесконечное множество эллиптических кривых над рациональными числами, имеющих следующие группы кручения:

• циклические группы $C_n$ для $1\le n\le 10$;
• группу $C_{12}$;
• группы вида $C_{2n}\times C_2$ при $1\le n\le 4$, где символ × означает прямую сумму.

На Международном конгрессе математиков в Риме в 1908 году Леви выдвинул предположение, что приведённый список групп кручения для эллиптических кривых над рациональными числами является исчерпывающим. Эта гипотеза была независимо переформулирована Тригве Нагеллом в 1952 году, а затем Эндрю Оггом, благодаря которому она стала широко известна как **гипотеза Огга**.

В 1971 году Огг продемонстрировал связь между гипотезой о кручении для эллиптических кривых над рациональными числами и теорией классических модулярных кривых. В начале 1970-х годов работы Жерара Лигоза, Дэниэла Куберта, Барри Мазура и Джона Тейта показали, что некоторые малые значения $n$ не могут быть порядками точек кручения эллиптических кривых над рациональными числами. Полное доказательство гипотезы для этого случая было получено Барри Мазуром в 1977–1978 годах.

Его методы были обобщены Каменным в 1992 году и Каменным совместно с Мазуром в 1995 году, что привело к доказательству равномерной ограниченности для квадратичных полей и числовых полей степени не выше 8 соответственно. Окончательное доказательство гипотезы для эллиптических кривых над произвольным числовым полем было дано Лоиком Мерелем в 1996 году. Он показал, что если $K$ — числовое поле степени $d=[K:\mathbb{\mathbb{Q}}]$, а $E/K$ — эллиптическая кривая, то существует ограничение на порядок группы кручения, зависящее только от степени: $|E(K{)}_{\text{tors}}|\le B(d)$. Кроме того, если точка $P\in E(K{)}_{\text{tors}}$ имеет простой порядок $p$, то выполняется неравенство $p\le d^{3d^2}$.

Полезную оценку мощности группы кручения в терминах степени числового поля предложил Парент в 1999 году. Он доказал, что если точка $P\in E(K{)}_{\text{tors}}$ имеет порядок $p^n$, где $p$ — простое число, то справедливо следующее:

$$p^n\le B(d,p)=\{\begin{array}{ll}129(3^d-1)(3d{)}^6& \text{при }p=2,\\ 65(5^d-1)(2d{)}^6& \text{при }p=3,\\ 65(3^d-1)(2d{)}^6& \text{при }p>3.\end{array}$$

Исходя из структуры теоремы Морделла — Вейля, согласно которой группа кручения изоморфна $\mathbb{\mathbb{Z}}/n_1\mathbb{\mathbb{Z}}\times \mathbb{\mathbb{Z}}/n_2\mathbb{\mathbb{Z}}$, можно получить грубую, но полезную оценку: $B(d)={(B_{\text{max}}(d{)}^{B_{\text{max}}(d)})}^2$, где $B_{\text{max}}(d)=129(5^d-1)(3d{)}^6$.

В личных заметках 1994 года Джозеф Эстерле предложил несколько улучшенную оценку для точек простого порядка $p$: $p\le (3^{d/2}+1{)}^2$, которая полезна при вычислениях над полями малой степени, но сама по себе недостаточна для эффективного ограничения $|E(K{)}_{\text{tors}}|$. Версия результата Эстерле была опубликована Дериксом и другими авторами в 2023 году.

Для числовых полей малых степеней известны более точные результаты, полученные Сазерлендом в 2012 году. Полный перечень возможных групп кручения был составлен для эллиптических кривых над $\mathbb{\mathbb{Q}}$, а также для квадратичных и кубических числовых полей. При степенях 1 и 2 все возникающие группы встречаются бесконечно часто. То же верно и для кубических полей, за исключением группы $C_{21}$, которая встречается лишь на одной эллиптической кривой над полем $K=\mathbb{\mathbb{Q}}({\zeta }_9{)}^{+}$. Для полей четвёртой и пятой степени определены группы кручения, возникающие бесконечно много раз.

В таблице ниже представлено множество всех простых чисел $S(d)$, которые могут быть порядками точек кручения $P\in E(K{)}_{\text{tors}}$, где $\text{Primes}(q)$ обозначает множество простых чисел, не превосходящих $q$ (по данным Дерикса и др., 2023, и Хаваджи, 2024).

Простые числа, возникающие как порядки точек кручения при малых степенях $d$

$d$	1	2	3	4	5	6	7	8
$S(d)$	$\text{Primes}(7)$	$\text{Primes}(13)$	$\text{Primes}(13)$	$\text{Primes}(17)$	$\text{Primes}(19)$	$\text{Primes}(19)\cup \{37\}$	$\text{Primes}(23)$	$\text{Primes}(23)$

Следующая таблица показывает множество простых чисел $S^{\prime }(d)$, которые бесконечно часто встречаются в качестве порядков точек кручения (Дерикс и др., 2023).

Простые числа, встречающиеся бесконечно много раз как порядки точек кручения при малых степенях $d$

$d$	1	2	3	4	5	6	7	8
$S^{\prime }(d)$	$\text{Primes}(7)$	$\text{Primes}(13)$	$\text{Primes}(13)$	$\text{Primes}(17)$	$\text{Primes}(19)$	$\text{Primes}(19)$	$\text{Primes}(23)$	$\text{Primes}(23)$

Барри Мазур выступил с обзорным докладом о гипотезе кручения в октябре 2022 года по случаю назначения Эндрю Огга профессором Института перспективных исследований.

См. также

• Гипотеза Бомбьери — Лэнга
• Гипотеза равномерной ограниченности для предпериодических точек
• Гипотеза равномерной ограниченности для рациональных точек

Литература

• |год=1952|pages=71–76}}

Ссылки

• math.NT
• https://www.ias.edu/news/2022/ogg-professorship-established|title=Frank
• https://www.ias.edu/news/2022/ogg-professorship-established
• http://www.numdam.org/item/PMIHES_1977__47__33_0/
• http://irma.math.unistra.fr/~schappa/NSch/Publications_files/1996_RSchNSch.pdf
• https://math.mit.edu/~drew/MazursTheoremSubsequentResults.pdf