Двадцатичетырёхъячейниковые соты

Двадцатичетырёхъячейниковые соты представляют собой правильное замощение четырёхмерного евклидова пространства, состоящее из одинаковых двадцатичетырёхъячейников. Данная структура обозначается символом Шлефли {3,4,3,3}. Наряду с тессерактными сотами это единственное регулярное разбиение 4-мерного пространства.

Свойства и характеристики

Каждая ячейка данных сот является правильным двадцатичетырёхъячейником. Символ Шлефли для всей структуры — {3,4,3,3}. Двойственное замощение описывается как {3,3,4,3}. Для удобства далее используется сокращение «24-соты».

Геометрические параметры

- **Тип ячейки**: октаэдр - **Тип грани**: треугольник - **Фигура при вершине**: тессеракт - **Рёберный остов**: тетраэдр - **Группы Коксетера**:

 \(\tilde{F}_4\) [3,4,3,3],  
 \(\tilde{C}_4\) [4,3,3,4],  
 \(\tilde{B}_4\) [4,3,31,1],  
 \(\tilde{D}_4\) [31,1,1,1]

Координатное представление

24-соты могут быть построены как диаграмма Вороного для решёток D₄ или F₄. Центры двадцатичетырёхъячейников расположены в точках решётки D₄, задаваемых условием: \[ \left\{(x_i) \in \mathbb{Z}^4 : \sum x_i \equiv 0 \pmod{2}\right\}. \] Эти точки соответствуют кватернионам Гурвица с чётной квадратной нормой. Вершины сот находятся в глубоких пустотах решётки D₄ и описываются кватернионами Гурвица с нечётной квадратной нормой.

Альтернативное построение использует симметрии: вершины размещаются в центрах квадратных граней, а фасеты 24-ячейников формируются как спрямлённые шестнадцатиячейники. Координаты вершин биспрямлённых тессерактных сот получаются всевозможными перестановками половинных сдвигов вдоль двух из четырёх измерений.

Структура и смежность

Каждый 24-ячейник граничит с 24 соседними ячейками, причём с каждым из них он делит ровно одну октаэдральную грань. Дополнительно существует 24 ячейки, имеющих с данным лишь общую вершину. Рёберных или граневых соседей у ячейки нет.

Конфигурация элементов в вершинах: - 16 рёбер, - 32 треугольные грани, - 24 октаэдра, - 8 двадцатичетырёхъячейников.

Вокруг каждого ребра расположены: - 4 треугольника, - 6 октаэдров, - 4 двадцатичетырёхъячейника.

На каждой грани находятся: - 3 октаэдра, - 3 двадцатичетырёхъячейника.

Трёхмерные сечения

Для визуализации 4-мерной структуры используются сечения гиперплоскостями.

Вершинные сечения

При сечении гиперплоскостью \(x_i = 0\) получаются ромбододекаэдральные соты — диаграмма Вороного решётки D₃. Сдвиг гиперплоскости на \(x_i = \frac{1}{2}\) даёт кубические соты. При непрерывном движении гиперплоскости сечение периодически чередуется между этими двумя типами.

Ячейковые сечения

Сечение гиперплоскостью, перпендикулярной вектору (1,1,0,0), даёт rectified cubic honeycomb. При сдвиге гиперплоскости структура меняется на bitruncated cubic honeycomb, а затем снова возвращается к исходному типу.

Плотнейшая упаковка сфер

Вписывание трёхмерных сфер в гиперячейки приводит к плотнейшей упаковке равных сфер в четырёхмерном пространстве с контактным числом 24. Плотность упаковки составляет: \[ \frac{\pi^2}{16} \approx 0.61685. \] Каждая сфера касается 24 других в центрах октаэдральных граней. Диаметр сфер равен \(\sqrt{2}\). На следующей оболочке расположены 24 несоприкасающиеся сферы.

Альтернативная упаковка с контактным числом 24 достигается размещением сфер меньшего диаметра в центрах и вершинах ячеек.

Построения на основе симметрии

Существует пять конструкций Витхоффа, геометрически идентичных, но различающихся симметрией. Все они имеют по восемь ячеек в вершине, но различаются раскраской фасет и генераторами симметрии.

Связанные понятия

- Тессерактные соты - Полуправильные четырёхмерные соты - Замощения пространств высших размерностей

Литература

- Коксетер Г. С. М. Regular and Semi-Regular Polytopes III // Math. Zeit. 200 (1988) 3–45. - Конвей Дж. Х., Слоэн Н. Дж. А. Сферные упаковки, решётки и группы. — М.: Мир, 1990. - Klitzing, Richard. Multidimensional Honeycombs.

Ссылки

• Euclidean tilings|o4o3x3o4o, o3x3o *b3o4o, o3x3o *b3o4o, o3x3o4o3o, o3o3o4o3x - icot - O88