Дзета-функция Барнса

Дзета-функция Барнса — это специальная функция в математике, представляющая собой многомерное обобщение дзета-функции Римана. Она была введена английским математиком Эрнестом Барнсом. В свою очередь, данная функция была обобщена в виде дзета-функции Шинтани.

Определение

Дзета-функция Барнса задаётся рядом следующего вида:

${\zeta }_N(s,w\mid a_1,\dots ,a_N)=\sum _{n_1,\dots ,n_N\ge 0}\frac{1}{(w+n_1{a}_1+\cdots +n_N{a}_N{)}^s}$

Здесь предполагается, что вещественные части параметров w и a_j положительны, а вещественная часть переменной s превышает число N.

Функция допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость переменной s. Её особенностями являются простые полюсы в точках s = 1, 2, ..., N. В частном случае, когда N = 1, w = 1 и a₁ = 1, функция сводится к классической дзета-функции Римана.

Ссылки

• https://ir.cwi.nl/pub/2100