Дзета-функция Игусы

Дзета-функция Игусы — это специальный тип производящей функции в математике, которая связана с подсчётом количества решений полиномиальных уравнений по модулю возрастающих степеней простого числа. Она играет важную роль в алгебраической и аналитической теории чисел, а также в диофантовой геометрии.

Определение

Пусть $p$ — простое число, а $K$ — конечное расширение поля ${\mathbb{\mathbb{Q}}}_p$ $p$-адических чисел, то есть выполняется условие $[K:{\mathbb{\mathbb{Q}}}_p]<\mathrm{\infty }$. Обозначим через $R$ кольцо нормирования поля $K$, а через $P$ — его максимальный идеал. Для произвольного элемента $z\in K$ введём обозначения: $\mathrm{ord}(z)$ — норма элемента $z$, $|z|=q^{-\mathrm{ord}(z)}$, и $\mathrm{ac}(z)=z{\pi }^{-\mathrm{ord}(z)}$, где $\pi$ — униформизирующий параметр кольца $R$.

Пусть также $\varphi :K^n\to \mathbb{ℂ}$ — функция Шварца–Брюа, то есть локально постоянная функция с компактным носителем, и $\chi$ — характер мультипликативной группы $R^{\times }$.

Для нетривиального многочлена $f(x_1,\dots ,x_n)\in K[x_1,\dots ,x_n]$ дзета-функция Игусы определяется следующим образом:

$Z_{\varphi }(s,\chi )=\underset{K^n}{\int }\varphi (x_1,\dots ,x_n)\chi (\mathrm{ac}(f(x_1,\dots ,x_n)))|f(x_1,\dots ,x_n){|}^{s}dx,$

где $s\in \mathbb{ℂ}$, $\mathrm{Re}(s)>0$, а $dx$ — мера Хаара, нормированная так, что объём $R^n$ равен 1.

Теорема Игусы

В 1974 году Джун-Ити Игуса доказал, что функция $Z_{\varphi }(s,\chi )$ является рациональной функцией от переменной $t=q^{-s}$. В своём доказательстве он использовал теорему Хиронаки–Хэйсукэ о разрешении особенностей. Позднее Яном Денефом было предложено совершенно иное доказательство, основанное на методах $p$-адической клеточной декомпозиции. Несмотря на это, явные выражения для дзета-функции остаются малоизученными, хотя некоторые результаты получены, в частности, для уравнений типа кривой Ферма.

Связь с подсчётом решений по модулю степеней идеала

Предположим, что $\varphi$ является характеристической функцией множества $R^n$, а $\chi$ — тривиальный характер. Обозначим через $N_i$ количество решений сравнения

$f(x_1,\dots ,x_n)\equiv 0(\mathrm{mod}{P}^i)$.

Тогда дзета-функция Игусы

$Z(t)=\underset{R^n}{\int }|f(x_1,\dots ,x_n){|}^{s}dx$

оказывается тесно связанной с производящим рядом Пуанкаре

$P(t)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^{-in}{N}_i{t}^i$

соотношением:

$P(t)=\frac{1-tZ(t)}{1-t}.$

Литература

• Информация для данной статьи взята из

Ссылки

• J. Denef, Report on Igusa's Local Zeta Function, Séminaire Bourbaki 43 (1990-1991), exp. 741; Astérisque 201-202-203 (1991), 359-386