Дзета-функция Лефшеца

Дзета-функция Лефшеца — это специальная функция, применяемая в топологии, теории неподвижных точек и динамических системах. Она была введена Соломоном Лефшецем и служит для изучения периодических точек непрерывных отображений.

Определение

Пусть задано непрерывное отображение \(f\colon X \to X\). Дзета-функция Лефшеца определяется как формальный степенной ряд: \[ \zeta_f(t) = \exp\left( \sum_{n=1}^{\infty} L(f^n) \frac{t^n}{n} \right), \] где \(L(f^n)\) обозначает число Лефшеца \(n\)-й итерации отображения \(f\). Эта функция является ключевым инвариантом в топологической теории периодических точек, поскольку кодирует информацию о всех итерациях отображения.

Примеры

Для тождественного отображения на пространстве \(X\) дзета-функция Лефшеца имеет вид: \[ \frac{1}{(1-t)^{\chi(X)}}, \] где \(\chi(X)\) — эйлерова характеристика \(X\), равная числу Лефшеца тождественного отображения.

Рассмотрим более содержательный пример. Пусть \(X = S^1\) — единичная окружность, и пусть \(f\colon S^1 \to S^1\) — отражение, заданное формулой \(f(\theta) = -\theta\). Число Лефшеца для \(f\) равно 2, а для \(f^2\) (тождественного отображения) — 0. Все нечётные итерации имеют число Лефшеца 2, а чётные — 0. Тогда: \[ \begin{align*} \zeta_f(t) &= \exp\left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2t^{2n+1}}{2n+1} \right) \\ &= \exp\left( 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n} - 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{2n}}{2n} \right) \\ &= \exp\left( -2\log(1-t) + \log(1-t^2) \right) \\ &= \frac{1-t^2}{(1-t)^2} = \frac{1+t}{1-t}. \end{align*} \]

Формула представления

Если \(f\) — непрерывное отображение на компактном многообразии \(X\) размерности \(n\) (или на компактном полиэдре), то дзета-функция выражается формулой: \[ \zeta_f(t) = \prod_{i=0}^{n} \det\left(1 - t f_* | H_i(X, \mathbb{Q})\right)^{(-1)^{i+1}}, \] где \(f_*\) — индуцированное отображение в гомологиях. Таким образом, \(\zeta_f(t)\) является рациональной функцией. Многочлены в числителе и знаменателе соответствуют характеристическим многочленам действия \(f\) на гомологических группах.

Связь с другими объектами

Дзета-функция Лефшеца представляет собой алгебраическую форму дзета-функции Артина — Мазура, которая несёт геометрическую информацию о неподвижных и периодических точках отображения \(f\).

См. также

• Число Лефшеца
• Дзета-функция Артина — Мазура
• Дзета-функция Рюэля