Дзета-функция Минакшисундарама — Плейеля

Дзета-функция Минакшисундарама–Плейеля — это специальная дзета-функция, которая кодирует спектр оператора Лапласа — Бельтрами на компактном римановом многообразии. Она была введена Суббарияхом Минакшисундарамом и Оке Плейелем в 1949 году. Ранее, в 1935 году, случай компактной области на плоскости изучался Торстеном Карлеманом.

Определение

Пусть M — компактное риманово многообразие размерности N, а ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots$ — собственные значения оператора Лапласа — Бельтрами $\mathrm{\Delta }$. Дзета-функция определяется для достаточно большой вещественной части $\mathrm{Re}(s)$ следующим образом:

$Z(s)=\mathrm{Tr}({\mathrm{\Delta }}^{-s})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|{\lambda }_n{|}^{-s}.$

Нулевые собственные значения при этом исключаются. Если многообразие имеет границу, необходимо задать соответствующие граничные условия, например, условия Дирихле или Неймана.

В более общем виде можно ввести функцию

$Z(P,Q,s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f_n(P)f_n(Q)}{{\lambda }_n^s},$

где P и Q — точки на многообразии, а $f_n$ — нормированные собственные функции. Это выражение допускает аналитическое продолжение до мероморфной функции на всей комплексной плоскости и является голоморфным при $P\ne Q$.

Возможные полюсы — простые, расположенные в точках $s=N/2,N/2-1,N/2-2,\dots ,1/2,-1/2,-3/2,\dots$ для нечётной размерности $N$ и в точках $s=N/2,N/2-1,\dots ,2,1$ для чётной. При нечётном $N$ функция $Z(P,P,s)$ регулярна в точках $s=0,-1,-2,\dots$. Для чётного $N$ вычеты в полюсах выражаются через метрику. Из теоремы Винера–Икехары следует асимптотическое соотношение:

$\sum _{{\lambda }_n<T}{f}_n(P{)}^2\sim \frac{T^{N/2}}{(2\sqrt{\pi }{)}^N\mathrm{\Gamma }(N/2+1)},$

где символ $\sim$ означает, что отношение левой и правой частей стремится к единице при $T\to +\mathrm{\infty }$.

Функция $Z(s)$ может быть получена интегрированием по многообразию:

$Z(s)=\underset{M}{\int }Z(P,P,s)dP.$

Связь с тепловым ядром

Аналитическое продолжение дзета-функции строится через её представление в виде преобразования Меллина от теплового ядра:

$K(P,Q,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(P)f_n(Q)e^{-{\lambda }_{n}t},$

а именно:

$Z(P,Q,s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}K(P,Q,t)t^{s-1}dt.$

В частности,

$Z(s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}K(t)t^{s-1}dt,$

где

$K(t)=\underset{M}{\int }K(P,P,t)dP=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-{\lambda }_{i}t}$

представляет собой след теплового ядра.

Полюса дзета-функции определяются асимптотическим поведением $K(t)$ при $t\to 0$.

Пример

Для окружности (многообразие размерности $N=1$) собственные значения лапласиана равны $n^2$ для целых $n$. Соответствующая дзета-функция имеет вид:

$Z(s)=\sum _{n\ne 0}\frac{1}{(n^2{)}^s}=2\zeta (2s),$

где $\zeta$ — дзета-функция Римана.

Приложения

Метод теплового ядра позволяет получить асимптотические разложения, важные для решения обратных спектральных задач на римановых многообразиях $(M,g)$.

Асимптотическое разложение Минакшисундарама–Плейеля

Пусть $(M,g)$ — $n$-мерное риманово многообразие. При $t\to 0+$ след теплового ядра допускает асимптотическое разложение:

$K(t)\sim (4\pi t{)}^{-n/2}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_m{t}^m.$

Для размерности 2 интеграл от скалярной кривизны связан с эйлеровой характеристикой $M$ через формулу Гаусса — Бонне.

В частности,

$a_0=\mathrm{Vol}(M,g),a_1=\frac{1}{6}\underset{M}{\int }S(x)dV,$

где $S(x)$ — скалярная кривизна, являющаяся следом тензора Риччи на $M$.

Асимптотический закон Вейля

Пусть $M$ — компактное риманово многообразие с собственными значениями $0={\lambda }_0\le {\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots$ (с учётом кратностей). Обозначим через $N(\lambda )$ количество собственных значений, не превосходящих $\lambda$, и через ${\omega }_n$ — объём единичного шара в ${\mathbb{ℝ}}^n$. Тогда справедливо:

$N(\lambda )\sim \frac{{\omega }_n\mathrm{Vol}(M){\lambda }^{n/2}}{(2\pi {)}^n},\lambda \to \mathrm{\infty },$

а также

$({\lambda }_k{)}^{n/2}\sim \frac{(2\pi {)}^{n}k}{{\omega }_n\mathrm{Vol}(M)},k\to \mathrm{\infty }.$

Это соотношение известно как асимптотическая формула Вейля и уточняется с помощью разложения Минакшисундарама–Плейеля.

Ссылки

• https://books.google.com/books?id=ZdHGSgAACAAJ