Дзета-функция Сельберга

Дзета-функция Сельберга — это аналог дзета-функции Римана, введённый Атле Сельбергом. В то время как классическая дзета-функция Римана выражается через простые числа:

$\zeta (s)=\prod _{p\in \mathbb{\mathbb{P}}}\frac{1}{1-p^{-s}},$

где $\mathbb{\mathbb{P}}$ — множество простых чисел, дзета-функция Сельберга использует длины простых замкнутых геодезических. Для подгруппы $\mathrm{\Gamma }$ группы SL(2,R) она определяется как:

${\zeta }_{\mathrm{\Gamma }}(s)=\prod _p(1-N(p{)}^{-s}{)}^{-1},$

или в альтернативной форме:

$Z_{\mathrm{\Gamma }}(s)=\prod _p\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1-N(p{)}^{-s-n}),$

где произведение берётся по классам сопряжённости примитивных гиперболических элементов $\mathrm{\Gamma }$ (или, эквивалентно, по простым геодезическим), а $N(p)$ равно $\exp (\text{длина }p)$ (квадрат наибольшего собственного значения элемента p).

Общие свойства

Для любой гиперболической поверхности конечной площади существует соответствующая дзета-функция Сельберга, являющаяся мероморфной функцией на комплексной плоскости. Она определяется через замкнутые геодезические на поверхности.

Полюсы функции $Z(s)$ могут быть описаны через спектральные данные поверхности. Нули располагаются следующим образом:

1. Каждой собственной функции оператора Лапласа — Бельтрами с собственным значением $s_0(1-s_0)$ соответствует ноль в точке $s_0$. Порядок нуля совпадает с размерностью соответствующего собственного пространства. Такие функции называются формами возврата и характеризуются нулевым свободным членом в ряде Фурье.
2. Нули также возникают в полюсах определителя матрицы рассеяния $\varphi (s)$, причём порядок нуля равен порядку полюса.

Кроме того, функция имеет полюсы в точках $1/2-\mathbb{\mathbb{N}}$ и может обладать нулями или полюсами в $-\mathbb{\mathbb{N}}$.

Дзета-функция Ихары рассматривается как p-адический и теоретико-графовый аналог дзета-функции Сельберга.

Случай модулярной группы

Особый интерес представляет дзета-функция Сельберга для поверхности $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }{\mathbb{ℍ}}^2$, где $\mathrm{\Gamma }$ — модулярная группа. В этом случае она тесно связана с дзета-функцией Римана.

Определитель матрицы рассеяния выражается формулой:

$\phi (s)={\pi }^{1/2}\frac{\mathrm{\Gamma }(s-1/2)\zeta (2s-1)}{\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (2s)}.$

Отсюда следует, что если дзета-функция Римана имеет ноль в точке $s_0$, то определитель матрицы рассеяния имеет полюс при $s_0/2$, а дзета-функция Сельберга — ноль в той же точке.

См. также

• Формула следа Сельберга

Литература

• Iwaniec, H. Spectral methods of automorphic forms. — American Mathematical Society, 2002.
• Venkov, A. B. Spectral theory of automorphic functions. — Proc. Steklov Inst. Math., 1982.
• Sunada, T. L-functions in geometry and some applications // Curvature and Topology of Riemannian Manifolds. — Springer Lecture Notes in Mathematics, 1986. — Vol. 1201. — P. 266–284.