Дзета-функция мотивов

В алгебраической геометрии дзета-функция мотивов гладкого алгебраического многообразия $X$ представляет собой формальный степенной ряд, определяемый следующим образом:

$Z(X,t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[X^{(n)}]t^n$

В этой записи $X^{(n)}$ обозначает $n$-ю симметрическую степень многообразия $X$, то есть факторпространство $X^n$ по действию симметрической группы $S_n$. Символ $[X^{(n)}]$ соответствует классу $X^{(n)}$ в кольце мотивов (подробнее см. ниже).

При рассмотрении над конечным полем с использованием счётной меры ряд $Z(X,t)$ превращается в локальную дзета-функцию многообразия $X$. Если же базовым полем служит поле комплексных чисел и применяется эйлерова характеристика с компактными носителями, то дзета-функция принимает вид $1/(1-t{)}^{\chi (X)}$.

Меры мотивов

Мерой мотивов называется отображение $\mu$, которое ставит в соответствие каждой схеме конечного типа над полем $k$ элемент коммутативного кольца $A$ и удовлетворяет следующим трём условиям:

значение $\mu (X)$ инвариантно относительно изоморфизма схем,

выполняется равенство $\mu (X)=\mu (Z)+\mu (X\setminus Z)$ для любой замкнутой подсхемы $Z\subset X$,

имеет место мультипликативность: $\mu (X_1\times X_2)=\mu (X_1)\mu (X_2)$.

В качестве примера можно рассмотреть случай, когда $k$ — конечное поле, а $A=\mathbb{\mathbb{Z}}$. Тогда функция $\mu (X)=\mathrm{\#}(X(k))$, сопоставляющая схеме количество её точек над $k$, задаёт так называемую счётную меру.

Если же в качестве базового поля выбрано поле комплексных чисел, то меру мотивов определяет эйлерова характеристика с компактными носителями, принимающая целочисленные значения.

Дзета-функция относительно меры мотивов $\mu$ определяется как формальный степенной ряд с коэффициентами в кольце $A$:

$Z_{\mu }(X,t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\mu (X^{(n)})t^n$.

Универсальная мера мотивов принимает значения в $K$-кольце многообразий, обозначаемом $K(V)$. Это кольцо порождено символами $[X]$ для всех многообразий $X$, подчинённых соотношениям:

$[X^{\prime }]=[X]$ при изоморфизме многообразий $X^{\prime }\cong X$,

$[X]=[Z]+[X\setminus Z]$ для замкнутого подмногообразия $Z\subset X$,

$[X_1\times X_2]=[X_1]\cdot [X_2]$.

Именно универсальная мера мотивов порождает дзета-функцию мотивов.

Примеры

Пусть $\mathbb{𝕃}=[{\mathbb{𝔸}}^1]$ обозначает класс аффинной прямой. Тогда имеют место следующие выражения:

$Z({\mathbb{𝔸}}^1,t)=\frac{1}{1-\mathbb{𝕃}t}$

$Z({\mathbb{𝔸}}^n,t)=\frac{1}{1-{\mathbb{𝕃}}^{n}t}$

$Z({\mathbb{\mathbb{P}}}^n,t)=\prod _{i=0}^n\frac{1}{1-{\mathbb{𝕃}}^{i}t}$

Для гладкой проективной неприводимой алгебраической кривой $X$ рода $g$, допускающей линейное расслоение степени 1, и при условии, что мера мотивов принимает значения в поле, где элемент $\mathbb{𝕃}$ обратим, дзета-функция представляется в виде:

$Z(X,t)=\frac{P(t)}{(1-t)(1-\mathbb{𝕃}t)},$

где $P(t)$ — многочлен степени $2g$. Таким образом, в данном случае дзета-функция мотивов является рациональной функцией. В размерностях выше первой рациональность дзета-функции мотивов, вообще говоря, не гарантирована.

Если $S$ — гладкая алгебраическая поверхность над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль, то производящая функция для мотивов схем Гильберта поверхности $S$ выражается через её дзета-функцию мотивов согласно формуле Гётше:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[S^{[n]}]t^n=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}Z(S,{\mathbb{𝕃}}^{m-1}{t}^m)$

Здесь $S^{[n]}$ обозначает схему Гильберта, параметризующую подсхемы длины $n$ на $S$. В частности, для аффинной плоскости эта формула даёт:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[({\mathbb{𝔸}}^2{)}^{[n]}]t^n=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-{\mathbb{𝕃}}^{m+1}{t}^m}$

Фактически, это выражение представляет собой производящую функцию для соответствующих мотивов.

Литература

Категория:Алгебраическая геометрия Категория:Функции Категория:Страницы с непроверенными переводами

Ссылки

• https://books.google.com/books?id=Jrix_1ORR6YC|издательство=World
• https://books.google.com/books?id=Jrix_1ORR6YC