Диэдральная симметрия в трёхмерном пространстве

Диэдральная симметрия в трёхмерном пространстве — это одна из трёх бесконечных последовательностей точечных групп, обладающих симметрией, соответствующей абстрактной диэдральной группе Dih_n (при n ≥ 2).

Классификация[править | править код]

В трёхмерном пространстве выделяют три типа диэдральной симметрии, которые обозначаются следующими способами: символами Шёнфлиса, нотацией Коксетера и международной символикой.

Хиральная симметрия

D_n, [n,2]⁺, (22n) порядка 2n — диэдральная группа или пара-n-угольная симметрия (соответствует абстрактной диэдральной группе).

Ахиральные симметрии

D_nh, [n,2], (*22n) порядка 4n — призматическая симметрия или полная орто-n-угольная группа (изоморфна Dih_n × Z₂).
D_nd (или D_nv), [2n,2⁺], (2*n) порядка 4n — антипризматическая симметрия или полная гиро-n-угольная группа (изоморфна Dih_2n).

Для каждого n все три типа обладают вращательной симметрией порядка n относительно главной оси (поворот на 360°/n сохраняет объект неизменным) и n осями вращения второго порядка, перпендикулярными главной оси. При n = ∞ эти группы соответствуют трём типам бордюрных симметрий. Обозначения приведены в разных системах: символы Шёнфлиса, нотация Коксетера (в квадратных скобках) и международная символика (в круглых скобках). Термин "горизонтальный" (h) относится к вертикальной оси вращения.

В двумерном случае группа D_n включает отражения относительно прямых. При вложении плоскости в трёхмерное пространство эти отражения можно интерпретировать либо как ограничение зеркальных отражений относительно вертикальных плоскостей, либо как повороты на 180° вокруг осей, лежащих в плоскости. В трёхмерном пространстве эти операции различаются — группа D_n содержит только вращения без отражений, в отличие от группы C_nv того же порядка 2n.

Добавление зеркальной симметрии относительно плоскости, перпендикулярной оси вращения порядка n, даёт группу D_nh, [n], (*22n).

Группа D_nd (или D_nv), [2n,2⁺], (2*n) содержит вертикальные плоскости отражения, расположенные между горизонтальными осями вращения, а не проходящие через них. В результате вертикальная ось становится осью порядка 2n.

Геометрические примеры[править | править код]

D_nh — симметрия правильной n-угольной призмы и бипирамиды
D_nd — симметрия правильной n-угольной антипризмы и трапецоэдра
D_n — симметрия частично повёрнутой призмы

Случай n = 1 не рассматривается отдельно, так как три типа симметрии совпадают с другими известными группами:

D₁ ≅ C₂ — группа порядка 2 (поворот на 180°)
D_1h ≅ C_2v — группа порядка 4 (отражение и поворот на 180° в плоскости)
D_1d ≅ C_2h — группа порядка 4 (отражение и поворот на 180° перпендикулярно плоскости)

При n = 2 отсутствует главная ось — имеются три равноправные оси вращения:

D₂, [2,2]⁺, (222) — группа порядка 4 (пример: кубоид с одинаковыми буквами S на противоположных гранях)
D_2h, [2,2], (*222) — группа порядка 8 (симметрия кубоида)
D_2d, [4,2⁺], (2*2) — группа порядка 8 (пример: растянутый тетраэдр)