Критерий вычислимой кросс-нормы

Вычислимая кросс-норма / Критерий перестановки (CCNR) — это критерий для обнаружения квантовой запутанности. Он может обнаруживать некоторые запутанные состояния, которые не обнаруживаются критерием Переса-Хородэцкого.

История

Критерий вычислимой кросс-нормы был сформулирован Оливером Рудольфом. Критерий перестановки был обнаружен Каем Ченом и Лин-Ань У. Оказалось, что эти два метода эквивалентны.

Математическое описание

Бичастичное квантовое состояние определяется своей матрицей плотности:

ρ = Σ_{ijkl} (ϱ)_{ij,kl} |i⟩⟨j| ⊗ |k⟩⟨l|.

Матрицу плотности можно представить с помощью разложения Шмидта:

ϱ = Σ_k λ_k A_k ⊗ B_k,

где λ_k ≥ 0, а A_k и B_k образуют попарно ортогональные базисы для операторов, удовлетворяющих условиям:

Tr(A_k A_l) = δ_{kl}, Tr(B_k B_l) = δ_{kl}.

Для сепарабельных состояний выполняется неравенство:

Σ_k λ_k ≤ 1.

Любое состояние, нарушающее это неравенство, является запутанным.

Критерий также можно описать с помощью операции перестановки, определяемой как:

(ϱ_R)_{ik,jl} = (ϱ)_{ij,kl}.

Если ϱ сепарабельно, то ||ϱ||_Tr ≤ 1, где ||...||_Tr — следовая норма. Любое квантовое состояние, для которого выполняется ||ϱ||_Tr > 1, является запутанным.

Критерий CCNR для сепарабельности не является ни слабее, ни сильнее критерия Переса-Хородэцкого.

Для бичастичных симметричных состояний критерий Переса-Хородэцкого и критерий вычислимой кросс-нормы / перестановки обнаруживают одни и те же квантовые состояния.

Операция перестановки определяет перестановку элементов матрицы плотности, аналогично тому, как критерий Переса-Хородэцкого также переставляет элементы матрицы плотности.

Максимальное нарушение критерия

Существуют эффективные численные методы для нахождения максимального нарушения критерия CCNR для заданного размера системы. Максимальное нарушение приведено в следующей таблице. Квантовое состояние, соответствующее случаю 4 × 4, также найдено аналитически.

| Размерность d₁ × d₂ | Максимум ||R(ϱ)||_tr | |---------------------|-----------------------------------| | 2 × 2 | 1 | | 2 × 4 | 1 | | 3 × 3 | 1.1891 | | 3 × 4 | 1.2239 | | 4 × 4 | 1.5 | | 5 × 5 | 1.5 | | 6 × 6 | 1.5881 |

См. также

• Связанная запутанность

Ссылки

• https://arxiv.org/abs/quant-ph/0205054}}
• https://arxiv.org/abs/quant-ph/0205054