Круги-близнецы
Круги-близнецы — это пара равных окружностей, связанных с геометрической фигурой, известной как арбелос. Арбелос представляет собой область, ограниченную тремя полуокружностями, построенными на трёх коллинеарных точках A, B и C, где B находится между A и C. Если провести через точку B перпендикуляр к прямой AC, пересекающий большую полуокружность в точке D, то отрезок BD делит арбелос на две части. В каждой из этих частей располагается по одной окружности-близнецу, каждая из которых касается двух полуокружностей и отрезка BD.
Впервые эти окружности упоминаются в книге «Леммы», где в Предложении V доказывается их конгруэнтность. Арабский математик Сабит ибн Курра, переведший этот труд, приписал данное открытие древнегреческому учёному Архимеду. На этом основании круги-близнецы и некоторые другие равные им окружности в арбелосе также называют окружностями Архимеда. Однако впоследствии авторство Архимеда было подвергнуто сомнению исследователями.
- Построение
Пусть A, B и C — вершины арбелоса, причём B лежит между A и C. Точка D определяется как пересечение большой полуокружности с перпендикуляром к отрезку AC, проведённым через B. Отрезок BD разделяет арбелос на две области, в каждой из которых строится окружность-близнец. Каждая из этих окружностей касается одной из меньших полуокружностей, отрезка BD и большой полуокружности.
Окружности-близнецы однозначно определяются тремя точками касания, а их построение является частным случаем задачи Аполлония. Существуют и альтернативные методы построения окружностей, конгруэнтных кругам-близнецам, которые также именуются Архимедовыми кругами.
- Свойства
Пусть диаметры двух внутренних полуокружностей равны a и b, тогда диаметр внешней полуокружности составляет a + b. Диаметр каждой окружности-близнеца вычисляется по формуле:
Если принять диаметр внешней полуокружности за единицу, а диаметры внутренних полуокружностей обозначить как s и 1 – s, то диаметр кругов-близнецов будет равен:
Интересно, что наименьшая окружность, содержащая обе окружности-близнеца, имеет площадь, равную площади самого арбелоса.
- См. также
- Примечания