Перейти к содержанию

Марковские процессы и теория потенциала

Статья из Авикипедии. Энциклопедии

Марковские процессы и теория потенциала

Это математическая книга, написанная Робертом Маккаллумом Блюменталем и Рональдом Гетуром. Впервые она была опубликована в 1968 году издательством Academic Press и на протяжении нескольких десятилетий оставалась влиятельным справочным трудом. В некрологе Блюменталя Гетур назвал эту книгу «безусловно, нашей самой известной работой».

      1. Предыстория

Книга *Марковские процессы и теория потенциала* основана на работах Гилберта Ханта по вероятностной теории потенциала, в частности на его трёхчастной статье «Марковские процессы и потенциалы», опубликованной в *Illinois Journal of Mathematics* в 1957–1958 годах. Блюменталь защитил докторскую диссертацию под руководством Ханта в Корнеллском университете в 1956 году, после чего начал работать в Вашингтонском университете, где познакомился с Гетуром.

В интервью 1980 года с Юджином Дынкиным Гетур рассказал, что они с Блюменталем начали совместное изучение работ Ханта в 1960 году, а к 1965 году решили написать книгу на эту тему. Черновик был готов к 1966 году, а окончательную версию они завершили в переписке в 1966–1967 годах, пока Блюменталь работал в Германии.

      1. Содержание

Основным объектом исследования в книге является стандартный процесс — небольшое обобщение процесса Ханта, который Джоанна Митро описывает как «наиболее широкий класс марковских процессов, для которых на тот момент существовала хорошо разработанная теория потенциала».

Главы книги:

- **Глава I** охватывает марковское свойство и строго марковское свойство, марковские ядра, стандартные и хантовские процессы, а также измеримые функции времён достижения. Теорема 9.4 содержит утверждение о том, что феллеровский процесс порождает процесс Ханта, а Теорема 10.6 представляет собой теорему ёмкости Гюстава Шоке. В главе также вводится обозначение для марковского процесса, которое впоследствии получило широкое распространение.

- **Глава II** посвящена содержанию первой части работы Ханта «Марковские процессы и потенциалы I» и включает в себя избыточные функции и тонкую топологию (теория потенциала).

- **Глава III** охватывает вторую часть работы Ханта («Марковские процессы и потенциалы II»), включая «основную теорему о баллаже» (Теорема 6.12) по терминологии Поля-Андре Мейера, а также подпроцессы и мультипликативные функционалы.

- **Глава IV** вводит аддитивные функционалы, а **Глава V** применяет к ним различные современные теоремы, включая работы Минору Мото, Эдварда С. Бойлана и Генри Маккина.

- **Глава VI** посвящена третьей части работы Ханта («Марковские процессы и потенциалы III») и рассматривает дуальные процессы, ньютоновский потенциал и ёмкость множества.

      1. Восприятие
        1. Современные отзывы

Книга получила положительные отзывы при публикации. В рецензии 1970 года для *Annals of Mathematical Statistics* Гарри Дайм назвал её «впечатляющей и важной», отметив, что она «несомненно станет основным справочником по марковским процессам и теории потенциала на долгие годы». Поль-Андре Мейер в 1969 году писал в *Bulletin of the American Mathematical Society*, что «каждый математик, интересующийся марковскими процессами с непрерывным временем, должен знать эту книгу».

Однако статистик М. С. Бартлетт в своей рецензии 1972 года для *The Mathematical Gazette* критиковал уровень абстракции, отмечая, что «многие разделы чистой математики, включая вероятностную теорию меры, становятся слишком оторванными от прикладных задач, которые изначально их породили».

        1. Наследие

В 1989 году Крис Роджерс написал: «21 год назад вышла знаменитая книга *Марковские процессы и теория потенциала* Блюменталя и Гетура. С тех пор она стала одной из самых цитируемых работ в этой области».

Книга часто упоминается в более поздних трудах по теории вероятностей. Кай Лай Чунг и Джон Б. Уолш называют её «стандартным справочником по дуальности» в своей книге *Марковские процессы, броуновское движение и временная симметрия*. В *Непрерывных мартингалах и броуновском движении* Даниэль Ревю и Марк Йор пишут, что «основным справочником по аддитивным функционалам является книга Блюменталя и Гетура, откуда заимствованы большинство наших доказательств [для главы]».

  • Марковские процессы и теория потенциала* была частично вытеснена книгой Майкла Шарпа *Общая теория марковских процессов* (1988), в которой рассматривались более общие борелевские правые процессы, а также затрагивались темы, не охваченные Блюменталем и Гетуром, включая компактификацию Рэя–Найта, системы Леви, характеристические меры, границу Мартина и теорию экскурсий.

Ссылки[править | править код]

Источник — https://awikipedia.org/w/index.php?title=Марковские_процессы_и_теория_потенциала&oldid=10169