Метрика Хофера

Метрика Хофера — это естественная биинвариантная метрика, определённая на группе гамильтоновых симплектоморфизмов компактного симплектического многообразия. Она была введена Хельмутом Хофером в конце 1980-х годов.

Определение

Рассмотрим компактное симплектическое многообразие $(M,\omega )$. Для гладкой функции $H:M\times [0,1]\to \mathbb{ℝ}$, называемой гамильтонианом, которая имеет нулевое среднее значение в каждый момент времени, обозначим через ${\phi }_H^t$ соответствующий гамильтонов поток.

Норма Хофера для гамильтониана $H$ задаётся формулой: $$\Vert H\Vert =\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\underset{M}{\max }{H}_t-\underset{M}{\min }{H}_t)dt.$$

Если $\phi ={\phi }_H^1$ — гамильтонов диффеоморфизм, то его норма Хофера определяется как:

$\Vert \phi \Vert =\underset{H}{\inf }\Vert H\Vert ,$

где инфимум берётся по всем гамильтонианам $H$, порождающим $\phi$.

Расстояние Хофера между двумя гамильтоновыми диффеоморфизмами $\phi$ и $\psi$ задаётся выражением:

$d(\phi ,\psi )=\Vert \phi \circ {\psi }^{-1}\Vert .$

Свойства

• Метрика Хофера является биинвариантной, что означает выполнение равенств:

  $d(\varphi \circ \phi ,\varphi \circ \psi )=d(\phi ,\psi )=d(\phi \circ \varphi ,\psi \circ \varphi )$.

• Норма Хофера невырождена: $\Vert \phi \Vert =0$ тогда и только тогда, когда $\phi =\mathrm{i}\mathrm{d}$.
  • В частности, расстояние Хофера задаёт метрику на множестве гамильтоновых симплектоморфизмов.
• Метрическое пространство $(\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{m}(M,\omega ),d)$ не является полным.