Общая развёртка

Общая развёртка многогранника — это развёртка, способная сворачиваться в несколько различных многогранников. Для корректности развёртки все её стороны должны иметь соответствующие пары для склеивания. Хотя исследования таких развёрток начались в конце XX века, известно лишь небольшое количество примеров. Наиболее изучены два класса: правильные многогранники и прямоугольные параллелепипеды (кубоиды). Поиск общих развёрток обычно осуществляется методами расширенного перебора или наложения сеток, покрывающих плоскость.

Эрик Демейн, Мартин Демейн, Ито, Любив, Нара и О’Рурке доказали, что любой выпуклый многогранник можно развернуть, а затем свернуть в другой выпуклый многогранник.

Выделяют два основных типа общих развёрток: строгие развёртки по рёбрам и свободные развёртки. В строгих развёртках различные многогранники получаются сгибанием по одним и тем же линиям без создания новых сгибов. Свободные развёртки допускают формирование произвольного количества новых сгибов для получения другого многогранника.

Кратность общих развёрток определяется количеством развёрток, соответствующих одному и тому же набору многогранников.

Правильные многогранники[править | править код]

В книге Демейна и О’Рурке открытая проблема 25.31 формулируется следующим образом:

> Может ли правильный многогранник быть разрезан и развёрнут в многоугольник, который затем сворачивается в другой правильный многогранник? Например, возможно ли разрезать и свернуть куб в тетраэдр?

Частичное решение этой проблемы предложил Ширакава с соавторами, используя фрактальную развёртку, предположительно складывающуюся в тетраэдр и куб.

Кратность	Многогранник 1	Многогранник 2
	Тетраэдр	Куб
87	Тетраэдр	Скрученно удлинённая четырёхугольная бипирамида (J₁₇, М₂+А₄+М₂)
37	Тетраэдр	Плосконосый двуклиноид (J₈₄)
	Куб	Равногранный тетраэдр
	Куб	Кубоиды 1×1×7 и 1×3×3
	Куб	Неправильный октаэдр
	Октаэдр	Равногранный тетраэдр
	Октаэдр	Равногранный тетраэдр
	Октаэдр	Тритетраэдр
	Икосаэдр	Равногранный тетраэдр

Неправильные многогранники[править | править код]

Кубоиды[править | править код]

Общие развёртки кубоидов активно исследовались, в основном Уехарой и его коллегами. Найдены развёртки, общие для двух или трёх кубоидов. Доказано, что существует бесконечно много развёрток, сворачивающихся в несколько многогранников.

Площадь	Кратность	Кубоид 1	Кубоид 2	Кубоид 3
22	6495	1×1×5	1×2×3
22	3	1×1×5	1×2×3	0×1×11
28		1×2×4	√2×√2×3√2
30	30	1×1×7	1×3×3	√5×√5×√5
30	1080	1×1×7	1×3×3
34	11291	1×1×8	1×2×5
38	2334	1×1×9	1×3×4
46	568	1×1×11	1×3×5
46	92	1×2×7	1×3×5
54	1735	1×1×13	3×3×3
54	1806	1×1×13	1×3×6
54	387	1×3×6	3×3×3
58	37	1×1×14	1×4×5
62	5	1×3×7	2×3×5
64	50	2×2×7	1×2×10
64	6	2×2×7	2×4×4
70	3	1×1×17	1×5×5
70	11	1×2×11	1×3×8
88	218	2×2×10	1×4×8
88	86	2×2×10	2×4×6
160		4×4×8	√10×2√10×2√10
532		7×8×14	2×4×43	2×13×16
1792		7×8×56	7×14×38	2×13×58

Поликубы[править | править код]

Первые общие развёртки поликубов были обнаружены Джорджем Миллером, а затем дополнены Дональдом Кнутом, что привело к созданию головоломки «Кубигами». Эта развёртка сворачивается во все 7 древовидных тетракубов. Найдены все возможные общие развёртки вплоть до пентакубов. Все они соответствуют строгому ортогональному складыванию, хотя допускалось и свободное складывание.

Площадь	Кратность	Многогранник
14	29026	Все трикубы
14		Все трикубы
18	68	Все древовидные тетракубы
22		23 пентакуба
22	3	22 древовидных пентакуба
22	1	Непланарные пентакубы