Пространство модулей Янга–Миллса

Пространство модулей Янга–Миллса

В калибровочной теории пространство модулей Янга–Миллса (сокращённо ПМЯМ, также пространство модулей инстантонов) — это пространство модулей уравнений Янга–Миллса, то есть пространство их решений с точностью до калибровки. Оно используется в теореме Дональдсона, доказанной в и усовершенствованной в , что стало одним из результатов, за которые Саймон Дональдсон получил Филдсовскую премию в 1986 году, а также для определения инварианта Дональдсона, используемого при изучении четырёхмерных гладких многообразий (сокращённо 4-многообразия). Сложность заключается в том, что пространство модулей Янга–Миллса обычно не является компактным и требует компактификации вокруг особенностей с помощью трудоёмких методов. Улучшение появилось позже с всегда компактным пространством модулей Зайберга–Виттена. Пространство модулей Янга–Миллса названо в честь Чжэньнина Яна и Роберта Миллса, которые ввели лежащие в его основе уравнения Янга–Миллса в 1954 году.

В четырёх измерениях (см. также четырёхмерная теория Янга–Миллса) важными подпространствами пространства модулей Янга–Миллса являются самодуальное пространство модулей Янга–Миллса (сокращённо СДЯМ пространство модулей, также самодуальное пространство модулей инстантонов) решений самодуальных уравнений Янга–Миллса с точностью до калибровки и антисамодуальное пространство модулей Янга–Миллса (сокращённо АСДЯМ пространство модулей, также антисамодуальное пространство модулей инстантонов) решений антисамодуальных уравнений Янга–Миллса с точностью до калибровки.

Определение

Пусть $G$ — группа Ли с алгеброй Ли $\mathfrak{𝔤}$ и $\pi :P\twoheadrightarrow X$ — главное расслоение над гладким многообразием $X$, что автоматически делает $P$ также гладким многообразием. Пусть $\mathrm{Ad}(P):=P{\times }_G\mathfrak{𝔤}$ — присоединённое расслоение, тогда уравнения Янга–Миллса, а также (анти)самодуальные уравнения Янга–Миллса формулируются на конфигурационном пространстве:

${𝒜}={\mathrm{\Omega }}^1(X,\mathrm{Ad}(P))\cong {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{Ad}}^1(P,\mathfrak{𝔤})$

где изоморфизм требует выбора локальных сечений $s_i:U_i\hookrightarrow P$ для открытого покрытия $(U_i{)}_{i\in I}\subset X$ (или, альтернативно, связности, поскольку последнее пространство является аффинным векторным пространством, что делает изоморфизм неканоническим) и задаётся формулой:

${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{Ad}}^1(P,\mathfrak{𝔤})\stackrel{\cong }{\to }{\mathrm{\Omega }}^1(X,\mathrm{Ad}(P)),A\mapsto (s_i^{*}A{)}_{i\in I}.$

Поскольку конфигурационное пространство является бесконечномерным векторным пространством, с ним сложнее работать. Но также из-за группового действия на главное расслоение естественно рассмотреть групповое действие на конфигурационном пространстве со следующей калибровочной группой:

${𝒢}:=C^{\mathrm{\infty }}(P,G{)}^G\cong C^{\mathrm{\infty }}(X,G)\cong \mathrm{Aut}(P)$

где изоморфизмы задаются с использованием свободного и транзитивного действия $G$ на слоях $P$ (с $G$ в верхнем индексе, означающим $G$-эквивариантные отображения, и которые являются каноническими):

$C^{\mathrm{\infty }}(X,G)\stackrel{\cong }{\to }\mathrm{Aut}(P),f\mapsto (p\mapsto p\cdot f(\pi (p)));$

$C^{\mathrm{\infty }}(P,G{)}^G\stackrel{\cong }{\to }\mathrm{Aut}(P),f\mapsto (p\mapsto p\cdot f(p)).$

Автоморфизм главного расслоения $P\to P$ индуцирует автоморфизм векторного расслоения $\mathrm{Ad}(P)\to \mathrm{Ad}(P)$, заставляя калибровочную группу ${𝒢}$ свободно действовать на конфигурационном пространстве ${𝒜}$ и порождая пространство орбит:

${ℬ}:={𝒜}/{𝒢}.$

Можно показать, что уравнения Янга–Миллса калибровочно инвариантны и, следовательно, формулируются именно над этим пространством орбит. Его решения образуют пространство модулей Янга–Миллса:

${{ℳ}}_P:=\{[A]\in {ℬ}|{\mathrm{d}}_A\star F_A=0\}.$

Если $X$ является 4-многообразием, то четырёхмерная теория Янга–Миллса дополнительно позволяет определить (анти)самодуальное пространство модулей Янга–Миллса:

${{ℳ}}_P^{-}={{ℳ}}_P^{\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{D}}:=\{[A]\in {ℬ}|\star F_A=-F_A\};$

${{ℳ}}_P^{+}={{ℳ}}_P^{\mathrm{S}\mathrm{D}}:=\{[A]\in {ℬ}|\star F_A=+F_A\}.$

Существуют канонические вложения ${{ℳ}}_P^{-},{{ℳ}}_P^{+}\hookrightarrow {{ℳ}}_P^{+}$. Пересечение ${{ℳ}}_P^{-}\cap {{ℳ}}_P^{+}$ включает в точности плоские связности, критические точки функционала действия Черна–Саймонса, и поэтому может называться пространством модулей Черна–Саймонса.

Свойства

• Если $X$ является 4-многообразием, то:

$\dim {{ℳ}}_P^{+}=2p_1(\mathrm{Ad}(P))[X]-\dim G(1-b_1+b_2^{-}).$

• В частности, для $G=\mathrm{SU}(2)$ — второй специальной унитарной группы:

$\dim {{ℳ}}_P^{+}=-8c_2(P)[X]-3(1-b_1+b_2^{-}).$

• В частности, для $G=\mathrm{SO}(3)$ — третьей специальной ортогональной группы:

$\dim {{ℳ}}_P^{+}=2p_1(P)[X]-3(1-b_1+b_2^{-}).$

Применение

Для доказательства теоремы Дональдсона Саймон Дональдсон рассмотрел самодуальное пространство модулей Янга–Миллса ${{ℳ}}_P^{+}$ единственного главного SU(2)-расслоения $P\twoheadrightarrow X$ над односвязным 4-многообразием $X$ с $c_2(P)[X]=-1$. (На 4-сфере $S^4$ это было бы кватернионное расслоение Хопфа $S^7\twoheadrightarrow S^4$.) Вначале предположив односвязность для $b_1(X)=0$ в , он расширил доказательство, чтобы оно работало и без неё в . Если форма пересечения $\omega$ определённая, как предполагается в теореме Дональдсона, то кроме того $b_{+}(X)=0$. Следовательно, самодуальное пространство модулей Янга–Миллса ${{ℳ}}_P^{+}$ является пятимерным. Саймон Дональдсон затем дал следующее описание его особенностей и его границы, что привело к бордизму, важному для его доказательства:

• Если существует $n$ пар $\pm \alpha \in H^2(X,\mathbb{\mathbb{Z}})$, удовлетворяющих уравнению $\omega (\alpha ,\alpha )=⟨{\alpha }^2,[X]⟩=1$ с кронекеровским спариванием и фундаментальным классом, то существует $n$ особенностей $x_1,\dots ,x_n\in {{ℳ}}_P^{+}$, так что ${{ℳ}}_P^{+}\setminus \{x_1,\dots ,x_n\}$ является 5-многообразием. Каждая такая особенность $x_i\in {{ℳ}}_P^{+}$ имеет окрестность $U_i\subset {{ℳ}}_P^{+}$, диффеоморфную конусу над вторым комплексным проективным пространством $\mathbb{ℂ}{P}^2$ (чья вершина соответствует особенности).
• Существует окрестность границы $\partial {{ℳ}}_P^{+}$, которая диффеоморфна полуоткрытому цилиндру над $X$, meaning что ${\overline{{ℳ}}}_P^{+}:={{ℳ}}_P^{+}\cup X$ даёт компактификацию с $\partial {\overline{{ℳ}}}_P^{+}=X$. Если дополнительно удалить конусы вокруг особенностей, то ${\overline{{ℳ}}}_P^{+}\setminus (U_1\cup \dots \cup U_n)$ описывает бордизм между $X$ и $(\mathbb{ℂ}{P}^2{)}^{\bigsqcup n}$. Важно, что все вторые комплексные проективные пространства имеют одинаковую ориентацию, поскольку $\mathbb{ℂ}{P}^2\bigsqcup \overline{\mathbb{ℂ}{P}^2}$ является нульбордантным (как граница 5-многообразия $\mathbb{ℂ}{P}^2\times [0,1]$) и, следовательно, может быть сокращён. Поскольку сигнатура инвариантна относительно бордизмов и переводит несвязное объединение в суммы, имеем $\sigma (X)=n\sigma (\mathbb{ℂ}{P}^2)=n$.