Теорема Шинцеля
Теорема Шинцеля — результат в геометрии чисел, утверждающий существование окружностей на плоскости, проходящих через заданное количество точек с целыми координатами. Она была доказана польским математиком Анджеем Шинцелем и носит его имя.
Доказательство[править | править код]
Доказательство Шинцеля основано на явном построении окружностей. В случае чётного числа точек, когда \( n = 2k \), используется окружность, задаваемая уравнением: \[ \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{4} \cdot 5^{k-1}. \] Центр такой окружности расположен в точке \( \left( \frac{1}{2}, 0 \right) \), а радиус равен \( \frac{5^{(k-1)/2}}{2} \). Например, при \( k = 2 \) радиус составляет \( \frac{\sqrt{5}}{2} \), и окружность проходит через четыре целочисленные точки.
Умножение обеих частей уравнения на 4 даёт эквивалентную форму в целых числах: \[ (2x - 1)^2 + (2y)^2 = 5^{k-1}. \] Это уравнение выражает \( 5^{k-1} \) как сумму квадратов, где первый член нечётный, а второй — чётный. Существует ровно \( 4k \) способов представить \( 5^{k-1} \) в виде суммы двух квадратов, и половина из них соответствует упорядоченным парам (нечётный, чётный) из-за симметрии. Например, для \( 5^1 = (\pm 1)^2 + (\pm 2)^2 \) возможны варианты \( 2x - 1 = 1 \) или \( -1 \) и \( 2y = 2 \) или \( -2 \), что даёт четыре точки.
Для нечётного числа точек, когда \( n = 2k + 1 \), применяется окружность с уравнением: \[ \left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{9} \cdot 5^{2k}. \] Её центр находится в \( \left( \frac{1}{3}, 0 \right) \), а радиус равен \( \frac{5^k}{3} \).
Свойства[править | править код]
Окружности, построенные по методу Шинцеля, не обязательно являются наименьшими по размеру среди окружностей, проходящих через заданное число целочисленных точек. Однако их преимущество заключается в наличии явных аналитических выражений.