Теория Ивасавы

В области теории чисел теория Ивасавы представляет собой исследование арифметически значимых объектов, связанных с бесконечными башнями алгебраических числовых полей. Она была основана Кэнкити Ивасавой в 1959 году как теория модулей Галуа для групп классов идеалов в контексте круговых полей. В начале 1970-х годов Барри Мазур предложил обобщения этой теории на абелевы многообразия, а в 1990-х годах Ральф Гринберг развил её применение к мотивам.

Основные положения

Ивасава исследовал так называемые ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$-расширения — бесконечные расширения алгебраического числового поля $F$, чья группа Галуа $\mathrm{\Gamma }$ изоморфна аддитивной группе p-адических целых чисел для некоторого простого числа p. Каждая замкнутая подгруппа $\mathrm{\Gamma }$ имеет вид ${\mathrm{\Gamma }}^{p^n}$, что в рамках теории Галуа означает, что ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$-расширение $F_{\mathrm{\infty }}/F$ соответствует башне полей

$F=F_0\subset F_1\subset F_2\subset \cdots \subset F_{\mathrm{\infty }}$

с условием $\mathrm{Gal}(F_n/F)\cong \mathbb{\mathbb{Z}}/p^n\mathbb{\mathbb{Z}}.$ Ивасава анализировал модули Галуа полей $F_n$, изучая структуру модулей над $F_{\mathrm{\infty }}.$

В более широком смысле теория Ивасавы ставит вопросы о структуре модулей Галуа над расширениями, чья группа Галуа является группой Ли.

Пример применения

Рассмотрим простое число $p$ и поле $K=\mathbb{\mathbb{Q}}({\mu }_p)$, порождённое над $\mathbb{\mathbb{Q}}$ примитивными корнями степени p из единицы. Ивасава изучал следующую башню числовых полей:

$K=K_0\subset K_1\subset \cdots \subset K_{\mathrm{\infty }},$

где $K_n$ — поле, полученное присоединением к $K$ корней степени p^{n +1} из единицы, а

$K_{\mathrm{\infty }}=\bigcup K_n.$

Поскольку $\mathrm{Gal}(K_n/K)\simeq \mathbb{\mathbb{Z}}/p^n\mathbb{\mathbb{Z}}$, из бесконечной теории Галуа следует, что $\mathrm{Gal}(K_{\mathrm{\infty }}/K)\simeq \underset{n}{\underleftarrow{\lim }}\mathbb{\mathbb{Z}}/p^n\mathbb{\mathbb{Z}}={\mathbb{\mathbb{Z}}}_p.$ Для получения нетривиального модуля Галуа Ивасава рассматривал p-торсионную часть $I_n$ группы идеальных классов поля $K_n$. При $m>n$ существуют норменные отображения $I_m\to I_n$, формирующие проективную систему. Если определить

$I=\underleftarrow{\lim }{I}_n,$

то $I$ становится модулем над ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$. Более того, $I$ является модулем над алгеброй Ивасавы $\mathrm{\Lambda }={\mathbb{\mathbb{Z}}}_p\mathrm{\Gamma }$ — регулярным локальным кольцом Крулля, что позволяет описывать модули над $\mathrm{\Lambda }$ и извлекать информацию о p-части группы классов поля $K.$

Мотивацией здесь служит тот факт, что p-торсион в группе идеальных классов поля $K$ был выделен Эрнстом Куммером как ключевое препятствие для прямого доказательства великой теоремы Ферма.

Связь с p-адическим анализом

С 1950-х годов на основе этих идей была развита обширная теория. Было обнаружено фундаментальное соответствие между модульной теорией и p-адическими L-функциями, определёнными в 1960-х годах Куботой и Леопольдтом. Последние исходили из чисел Бернулли и использовали интерполяцию для построения p-адических аналогов L-функций Дирихле. Со временем стало ясно, что эта теория позволяет продвинуться дальше результатов Куммера о регулярных простых числах, полученных столетием ранее.

Ивасава сформулировал главную гипотезу теории Ивасавы, утверждающую, что два подхода к определению p-адических L-функций — через модульную теорию и через интерполяцию — должны совпадать. Эта гипотеза была доказана для поля $\mathbb{\mathbb{Q}}$ и всех вполне вещественных числовых полей. Доказательства следовали подходу Кена Райбета, установившего обратную теорему к теореме Эрбранда (теорема Эрбранда — Райбета).

Карл Рубин нашёл более элементарное доказательство теоремы Мазура — Уайлса, используя системы Эйлера Колывагина, и впоследствии получил другие обобщения главной гипотезы для мнимо-квадратичных полей.

Обобщения

В теории Ивасавы возможны вариации группы Галуа бесконечной башни, исходного поля и типа рассматриваемого арифметического модуля. В каждом случае формулируется своя главная гипотеза, связывающая данную башню с соответствующей p-адической L-функцией.

В 2002 году Кристофер Скиннер и Эрик Урбан объявили о доказательстве главной гипотезы для группы GL(2), а в 2010 году опубликовали препринт своей работы.

Ссылки

Источники

Примечания

Литература

• Masato Kurihara, Kenichi Bannai, Tadashi Ochiai, Takeshi Tsuji (ред.): Development of Iwasawa Theory: The Centennial of K. Iwasawa’s Birth, Mathematical Society of Japan, (Advanced Studies in Pure Mathematics, том 86), ISBN 978-4-86497092-1 (2020).
• Tadashi Ochiai: Iwasawa Theory and Its Perspective, Vol.1, American Mathematical Society, (Mathematical Surveys and Monographs, том 272), ISBN 978-1-4704-5672-6 (2023).
• Tadashi Ochiai: Iwasawa Theory and Its Perspective, Vol.2, American Mathematical Society, (Mathematical Surveys and Monographs, том 280), ISBN 978-1-4704-5673-3 (2024).
• Tadashi Ochiai: Iwasawa Theory and Its Perspective, Vol.3, American Mathematical Society, (Mathematical Surveys and Monographs, том 291), ISBN 978-1-4704-7732-5 (2025).

Ссылки

• https://sites.math.washington.edu/~greenber/mem.html|title=Memories
• https://sites.math.washington.edu/~greenber/mem.html
• https://books.google.com/books?isbn=0-387-96671-4
• http://www.math.columbia.edu/%7Eurban/eurp/MC.pdf
• https://books.google.com/books?isbn=0-387-94762-0