Теория решета

Теория решета — раздел теории чисел, посвящённый разработке методов оценки количества элементов в специальных множествах целых чисел, называемых просеянными множествами. Классическим примером такого множества служит совокупность простых чисел, не превышающих заданное число $X$ . Наиболее известными методами в этой области являются решето Эратосфена и его обобщения. Прямое применение этих методов для анализа распределения простых чисел приводит к значительным трудностям, связанным с накоплением ошибок. В XX веке важным направлением развития теории чисел стало создание подходов, позволяющих преодолеть эти ограничения.

Основные принципы[править | править код]

Современные методы теории решета основаны на следующих идеях:

Аппроксимация исследуемого множества (например, простых чисел) более простыми множествами (такими как полупростые числа), которые легче анализировать, хотя могут быть несколько больше по размеру
Использование весовых функций, которые присваивают различным элементам разные веса вместо работы непосредственно с множествами
Построение функций, принимающих значительные значения на целевом множестве и малые — вне его, что упрощает анализ по сравнению с характеристическими функциями

Термин «решето» был впервые использован норвежским математиком Вигго Бруном в 1915 году. Его работа развивала идеи французского математика Жана Мерлина, погибшего во время Первой мировой войны, от которого сохранились лишь две рукописи.

Математический аппарат[править | править код]

Следуя подходу, изложенному в книге «Opera de Cribro» Джона Фридлендера и Генрика Иваньеца, рассмотрим счётную последовательность неотрицательных чисел $𝒜 = (a_{n})$ . В простейшем случае эта последовательность представляет собой индикаторную функцию $a_{n} = 1_{A} (n)$ для множества $A = {s : s \leq x}$ , подлежащего просеиванию.

Вводится множество простых чисел $𝒫 \subseteq ℙ$ , называемое областью просеивания, и их произведение до $z$ : $P (z) = \prod_{p \in 𝒫, p < z} p$

Основной объект изучения — функция просеивания: $S (𝒜, 𝒫, z) = \sum_{n \leq x, gcd (n, P (z)) = 1} a_{n}$

Для случая $a_{n} = 1_{A} (n)$ эта функция вычисляет мощность подмножества $A_{sift} \subseteq A$ , состоящего из чисел, взаимно простых с $P (z)$ .

Принцип включения-исключения[править | править код]

Определим для множества $𝒫$ : $A_{sift} : = {a \in A | (a, p_{1} \dots p_{k}) = 1}, p_{1}, \dots, p_{k} \in 𝒫$

Для каждого простого $p \in 𝒫$ введём подмножество $E_{p} \subseteq A$ чисел, кратных $p$ : $E_{p} : = {p n : n \in ℕ}$

Применяя формулу включений-исключений для $𝒫 : = {2, 3, 5, 7, 11, 13 \dots}$ , получаем: $| A_{sift} | = | A | - | E_{2} | - | E_{3} | + | E_{6} | - | E_{5} | + | E_{10} | + | E_{15} | - | E_{30} | + \dots$

Общая формула имеет вид: $| A_{sift} | = \sum_{d | P} μ (d) | E_{d} |$ где $μ$ — функция Мёбиуса, $P : = \prod_{p \in 𝒫} p$ , а $E_{1} : = A$ .

Тождество Лежандра[править | править код]

Функция просеивания может быть выражена через тождество Лежандра: $S (𝒜, 𝒫, z) = \sum_{d ∣ P (z)} μ (d) A_{d} (x)$ где $A_{d} (x)$ определяется как: $A_{d} (x) = \sum_{n \leq x, n \equiv 0 (\mod d)} a_{n}$

Аппроксимационный подход[править | править код]

Предположим, что $A_{d} (x)$ допускает представление: $A_{d} (x) = g (d) X + r_{d} (x)$ где $g (d)$ — мультипликативная функция плотности, удовлетворяющая условиям: $g (1) = 1, 0 \leq g (p) < 1 p \in ℙ$

Тогда функция просеивания принимает вид: $S (𝒜, 𝒫, z) = X \sum_{d ∣ P (z)} μ (d) g (d) + \sum_{d ∣ P (z)} μ (d) r_{d} (x)$ или кратко: $S (𝒜, 𝒫, z) = X G (x, z) + R (x, z)$

Вигго Брун предложил модификацию метода, заменяющую $μ (d)$ на весовые последовательности $(λ_{d}^{-})$ и $(λ_{d}^{+})$ , что позволяет получить оценки: $S^{-} \leq S \leq S^{+}$

Основные результаты[править | править код]

Современная теория решета включает следующие значимые достижения:

Теорема Бруна — устанавливает сходимость ряда, составленного из обратных величин простых чисел-близнецов
Теорема Чена — доказывает существование бесконечного множества простых чисел $p$ , для которых $p + 2$ является либо простым, либо полупростым числом
Фундаментальная лемма теории решета — позволяет точно оценить количество элементов, оставшихся после $N^{ε}$ итераций просеивания
Теорема Фридландера—Иванца — утверждает бесконечность множества простых чисел вида $a^{2} + b^{4}$
Теорема Чжана — доказывает существование бесконечного числа пар простых чисел с ограниченной разностью
Теорема Мейнарда—Тао — обобщает результат Чжана на произвольно длинные последовательности простых чисел

Ограничения и перспективы[править | править код]

Основным препятствием в развитии методов теории решета является так называемая проблема чётности, которая заключается в трудности различения чисел с чётным и нечётным количеством простых делителей. Эта проблема остаётся малоизученной.

По сравнению с другими методами теории чисел, решетные подходы считаются относительно элементарными, так как не требуют привлечения сложного аппарата алгебраической или аналитической теории чисел. Однако современные варианты решет могут быть весьма сложными, особенно в сочетании с другими глубокими методами.

См. также[править | править код]

Решето Эратосфена
Функция Мёбиуса
Полупростое число
Проблема Гольдбаха
Гипотеза о числах-близнецах

Литература[править | править код]

Cojocaru, Alina Carmen; Murty, M. Ram. An Introduction to Sieve Methods and Their Applications. Cambridge University Press, 2005.
Halberstam, Heini; Richert, Hans-Egon. Sieve Methods. Academic Press, 1974.
Friedlander, John B.; Iwaniec, Henryk. Opera de Cribro. American Mathematical Society, 2010.
Maynard, James. Small gaps between primes. Annals of Mathematics, 181 (1): 383–413, 2015.
Zhang, Yitang. Bounded gaps between primes. Annals of Mathematics, 179 (3): 1121–1174, 2014.

Внешние ссылки[править | править код]

Ссылки[править | править код]