Треугольный бильярд

Треугольные бильярды В математике треугольные бильярды — это динамическая система, моделирующая отражение световых лучей внутри треугольника с зеркальными сторонами или движение бильярдного шара на треугольном столе. Это частный случай динамических бильярдов. Основная нерешённая проблема в этой области касается существования периодических траекторий: имеет ли каждый треугольник траекторию, которая повторяет своё начальное положение и ориентацию после конечного числа отражений?

Постановка задачи[править | править код]

В этой модели световой луч с заданными начальным положением и направлением движется по пути в виде ломаной линии, следуя правилу, согласно которому угол падения равен углу отражения при каждом отражении от стороны треугольника. Если луч достигает вершины треугольника, он гаснет. Альтернативно, бильярдный шар, моделируемый как математическая точка, следует по тому же пути на треугольном бильярдном столе, также идеально отражаясь от стенок стола или падая в лузу в углу. Это частный случай динамических бильярдов, которые рассматривают аналогичные задачи для более общих фигур, чем треугольники.

Решённые случаи[править | править код]

В остроугольном треугольнике ортотреугольник образует периодическую бильярдную траекторию, отражаясь трижды перед возвратом в исходное положение. Этот треугольник имеет в качестве своих трёх вершин три точки на сторонах данного остроугольного треугольника, в которых их пересекают перпендикуляры, опущенные из противоположных вершин. Он также даёт решение задачи Фаньяно о вписанном треугольнике минимального периметра.

В прямоугольном треугольнике любая траектория, перпендикулярная гипотенузе, является периодической, отражаясь дважды от каждого катета и следуя по тому же пути в обратном направлении перед возвратом в исходную точку. Таким образом, такие треугольники всегда имеют периодические бильярдные траектории. Более общо, почти каждая траектория, перпендикулярная одной из сторон прямоугольного треугольника, в конечном итоге является периодической, и когда прямоугольный треугольник имеет угол в интервале (π/6, π/4), может существовать не более одной непериодической траектории, перпендикулярной одной стороне.

Для треугольников, углы которых являются рациональными кратными числа π, всегда существует периодическая бильярдная траектория, и, более того, начальные положения и ориентации, порождающие периодические траектории, образуют плотное множество. Для равнобедренных треугольников достаточно малое возмущение треугольника порождает другой треугольник с периодической бильярдной траекторией.

Компьютерные исследования показали, что все тупоугольные треугольники с минимальным углом не менее 11° и все тупоугольные треугольники с максимальным углом не более 112.4° имеют периодические бильярдные траектории. Немного больший угол 112.5° (5π/8) был охарактеризован как «очень трудный барьер для преодоления».

Ссылки[править | править код]