Тысячеугольник

Тысячеугольник (хилиагон) — это геометрическая фигура, представляющая собой многоугольник с 1000 сторонами и 1000 углами.

Геометрические свойства

Правильный тысячеугольник

Фрагмент правильного тысячеугольника, увеличенный в 200 раз по сравнению с уменьшенной копией в левом верхнем углу. На увеличенной части отмечены вершины фигуры.

У правильного тысячеугольника все стороны и углы равны. Величина каждого внутреннего угла составляет $\frac{499\pi }{500}$ радиан, что соответствует 179°38'24". Площадь фигуры со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S=250a^2\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\pi }{1000}\simeq 79577.2a^2$.

Согласно теореме Гаусса — Ванцеля, правильный тысячеугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки, поскольку он не относится к конструктивным многоугольникам. Кроме того, его построение недостижимо даже с применением трисектора, так как количество его сторон не соответствует произведению различных простых чисел Пьерпонта (вида $2^u\cdot 3^v+1$) или произведению степеней чисел 2 и 3.

Звёздчатая форма

Хилиаграмма — это звёздчатый многоугольник с 1000 вершинами, который задаётся символом Шлефли {1000/499}.

Хилиаграмма {1000/499}

Центральная область с муаровым узором

Философское значение

В шестой главе «Размышлений о первой философии» Рене Декарт использует тысячеугольник для иллюстрации различий между воображением и чистым пониманием. Философ отмечает, что, хотя человек не способен мысленно представить все тысячу сторон фигуры (в отличие, например, от треугольника), он может чётко осознавать её сущность и отличать от других многоугольников, таких как десятитысячеугольник. Это, по мнению Декарта, доказывает независимость разума от воображения, поскольку разум способен воспринимать абстрактные идеи, недоступные для чувственного представления.

Современник Декарта, Пьер Гассенди, критиковал этот подход, утверждая, что чёткое понимание слова «тысячеугольник» не равнозначно ясному представлению самой фигуры.

Анри Пуанкаре, в свою очередь, приводил тысячеугольник как пример того, что интуиция не обязательно опирается на чувственный опыт: хотя мы не можем visualize эту фигуру, мы способны интуитивно рассуждать о многоугольниках вообще, включая их частный случай — тысячеугольник.