Цветение (геометрия)
Цветение многогранника
Цветение многогранника (также непрерывное цветение) — это непрерывное трёхмерное движение поверхности многогранника, разрезанной для образования развёртки, от исходной формы до плоского состояния без самопересечений. В процессе движения многоугольники развёртки сохраняют жёсткость (остаются плоскими), не могут пересекаться или накладываться друг на друга. Обратный процесс — переход от плоской развёртки к объёмному многограннику — можно интуитивно представить как складывание модели из бумаги сгибанием только по заданным линиям, что роднит цветение с техникой жёсткого оригами.
История исследования
В 1999 году Бидл, Любив и Сан в своей ранней работе показали, что существуют развёртки невыпуклых многогранников (имеющих сферическую топологию), для которых цветение невозможно.
Гипотеза Коннелли
Вопрос о том, обладает ли каждый выпуклый многогранник развёрткой, допускающей цветение, был сформулирован Робертом Коннелли и получил название гипотезы цветения Коннелли. В 2003 году Миллер и Пак выдвинули более конкретное предположение: любая развёртка, полученная с помощью множества раздела (включая разрезы, проходящие через грани), всегда имеет цветение. Этот факт был доказан в 2009 году Демейном и его соавторами. Более того, они показали, что цветение существует для любой развёртки выпуклого многогранника, многоугольники которой соединены в одну цепь, а также что любую развёртку можно преобразовать в такую цепь. Однако до сих пор остаётся открытым вопрос, верно ли это для произвольной развёртки выпуклого многогранника. Миллер и Пак воздержались от каких-либо предположений по данной проблеме.
Связь с гипотезой Дюрера
Поскольку неизвестно, существует ли для любого выпуклого многогранника развёртка, разрезающая его только по рёбрам (так называемая гипотеза Дюрера), остаётся открытым и вопрос о существовании цветения, использующего исключительно рёберные разрезы. В неопубликованной рукописи 2009 года Игорь Пак и Ром Пинчаси утверждали, что для всех архимедовых тел такое цветение существует.
Вычислительные аспекты
Задача нахождения цветения для заданной развёртки многогранника также исследовалась с вычислительной точки зрения как отдельная оптимизационная проблема.
Примечания
Категория:Многогранники Категория:Оригами