Эта-функция Дедекинда

Эта-функция Дедекинда — модулярная функция, названная в честь немецкого математика Рихарда Дедекинда. Она определена на верхней полуплоскости, то есть для комплексных чисел с положительной мнимой частью, и имеет вес 1/2. Эта функция играет важную роль в различных областях математики, включая теорию чисел, теорию модулярных форм и теорию струн.

Определение

Пусть τ — комплексное число с положительной мнимой частью. Введём обозначение q = e^2πiτ. Тогда эта-функция Дедекинда определяется как бесконечное произведение:

$\eta (\tau )=e^{\frac{\pi i\tau }{12}}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2\pi in\tau })=q^{\frac{1}{24}}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n).$

Если возвести это выражение в 24-ю степень и умножить на (2π)¹², получим модулярный дискриминант:

$\mathrm{\Delta }(\tau )=(2\pi {)}^{12}{\eta }^{24}(\tau ).$

Появление числа 24 в этой формуле связано, в частности, с размерностью решётки Лича и другими математическими конструкциями.

Эта-функция является голоморфной на верхней полуплоскости, но не допускает аналитического продолжения за её пределы.

Функциональные уравнения

Эта-функция удовлетворяет следующим функциональным уравнениям:

$\begin{array}{rl}\eta (\tau +1)& =e^{\frac{\pi i}{12}}\eta (\tau ),\\ \eta (-\frac{1}{\tau })& =\sqrt{-i\tau }\eta (\tau ),\end{array}$

где ветвь квадратного корня выбирается так, чтобы значение равнялось 1 при τ = i.

В более общем случае, для преобразования модулярной группы вида

$\tau \mapsto \frac{a\tau +b}{c\tau +d},$

где a, b, c, d — целые числа, удовлетворяющие условию ad − bc = 1, и либо c > 0, либо c = 0 и d = 1, выполняется соотношение:

$\eta \left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=ϵ(a,b,c,d)(c\tau +d{)}^{\frac{1}{2}}\eta (\tau ),$

где

$$\begin{gathered} ϵ(a,b,c,d)=\{\begin{array}{ll}{e}^{\frac{bi\pi }{12}},& c=0, \\ d=1,\\ e^{i\pi (\frac{a+d}{12c}-s(d,c)-\frac{1}{4})},& c>0.\end{array} \end{gathered}$$

Здесь s(h, k) — сумма Дедекинда:

$s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}\frac{n}{k}(\frac{hn}{k}-\lfloor \frac{hn}{k}\rfloor -\frac{1}{2}).$

Связь с другими функциями

Благодаря своим свойствам, эта-функция используется для построения модулярных форм. Например, эллиптические функции Вейерштрасса с периодами ω₁ и ω₂ = τω₁ связаны с η(τ) соотношением:

$\mathrm{\Delta }(\tau )=(2\pi {\omega }_1{)}^{12}\eta (\tau {)}^{24}.$

Тройное произведение Якоби позволяет выразить η(τ) через тета-функцию:

$\eta (\tau )=e^{\frac{\pi i\tau }{12}}\vartheta (\frac{\tau +1}{2};3\tau ).$

Функция Эйлера φ(q) = ∏(1 − qⁿ) связана с η(τ) соотношением:

$\varphi (q)=q^{-\frac{1}{24}}\eta (\tau ).$

Согласно пентагональной теореме Эйлера, она раскладывается в степенной ряд:

$\varphi (q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{\frac{3n^2-n}{2}}.$

Также η(τ) может быть выражена через тета-функцию следующим образом:

$\underset{z\to 0}{\lim }\frac{{\vartheta }_1(z|\tau )}{z}=2\pi {\eta }^3(\tau ),$

или в виде ряда:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(2n+1)q^{\frac{(2n+1{)}^2}{8}}={\eta }^3(\tau ).$

Комбинаторные тождества

С помощью теории алгебраических характеров аффинных алгебр Ли получены многочисленные тождества для η-функции. Например:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\substack»): {\displaystyle \eta(8\tau) \eta(16\tau) = \sum_{\substack{m, n \in \mathbb{Z} \\ m \le |3n|}} (-1)^m q^{(2m + 1)^2 - 32n^2},}

где q = e^2πiτ.

Частные значения

Некоторые значения η-функции выражаются через гамма-функцию:

$\begin{array}{rl}\eta (i)& =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}{2{\pi }^{3/4}},\\ \eta \left(\frac{1}{2}i\right)& =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}{2^{7/8}{\pi }^{3/4}},\\ \eta (2i)& =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}{2^{11/8}{\pi }^{3/4}},\\ \eta (3i)& =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}{2\sqrt[3]{3}(3+2\sqrt{3}{)}^{1/12}{\pi }^{3/4}},\\ \eta (4i)& =\frac{\sqrt[4]{-1+\sqrt{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}{2^{29/16}{\pi }^{3/4}},\\ \eta \left(e^{\frac{2\pi i}{3}}\right)& =e^{-\frac{\pi i}{24}}\frac{\sqrt[8]{3}\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{3}\right)}^{3/2}}{2\pi }.\end{array}$

Эта-частные

Эта-частные — выражения вида:

$\prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau {)}^{r_d},$

где N — натуральное число, а r_d — целые числа. Они часто являются алгебраическими или даже целыми числами при специальных значениях τ. Например, модулярные функции:

$\begin{array}{rl}j(\tau )& ={({\left(\frac{\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}\right)}^8+2^8{\left(\frac{\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}\right)}^{16})}^3,\\ j_{2A}(\tau )& ={({\left(\frac{\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}\right)}^{12}+2^6{\left(\frac{\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}\right)}^{12})}^2,\\ j_{3A}(\tau )& ={({\left(\frac{\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}\right)}^6+3^3{\left(\frac{\eta (3\tau )}{\eta (\tau )}\right)}^6)}^2,\\ j_{4A}(\tau )& ={({\left(\frac{\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}\right)}^4+4^2{\left(\frac{\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}\right)}^4)}^2={\left(\frac{{\eta }^2(2\tau )}{\eta (\tau )\eta (4\tau )}\right)}^{24},\end{array}$

принимают целые значения при некоторых квадратичных иррациональностях.

Условия модулярности

Моррис Ньюман доказал, что если эта-частное удовлетворяет условиям:

$\sum _{0<d\mid N}d{r}_d\equiv 0(\mathrm{mod}24),\sum _{0<d\mid N}\frac{N}{d}{r}_d\equiv 0(\mathrm{mod}24),$

то оно является модулярной функцией для некоторой конгруэнцподгруппы. Вес такой формы равен:

$k=\frac{1}{2}\sum _{0<d\mid N}{r}_d.$

Этот результат был уточнён в 2019 году. Также известна оценка:

$\sum _{0<d\mid N}|r_d|\le \prod _{p\mid N}{\left(\frac{p+1}{p-1}\right)}^{\min (2,{\mathrm{ord}}_p(N))}.$

См. также

• Формула Чоулы–Сельберга
• Ряд Рамануджана–Сато
• Q-символ Похгаммера
• Эллиптические функции Вейерштрасса
• Функция распределения
• Формула предела Кронекера
• Аффинная алгебра Ли

Литература

• Tom M. Apostol. Modular functions and Dirichlet series in number theory. — Springer-Verlag, 1990.
• Neil Koblitz. Introduction to elliptic curves and modular forms. — Springer-Verlag, 1993.