Orthocentric system

Ортоцентрическая система[править | править код]

Ортоцентрическая система — это совокупность четырёх точек на плоскости, одна из которых служит ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками. Другое определение: система, в которой прямые, проведённые через любые две точки, перпендикулярны соответствующим прямым, соединяющим две другие точки. Все четыре окружности, проходящие через тройки точек системы, имеют одинаковый радиус.

В такой системе каждая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, составленного из трёх остальных. Все четыре возможных треугольника обладают общей окружностью девяти точек и равными радиусами описанных окружностей.

1. 1. Общая окружность девяти точек

Центр общей окружности девяти точек совпадает с центроидом четырёх точек системы. Радиус этой окружности равен расстоянию от её центра до середины любого из шести отрезков, соединяющих пары точек системы. Все эти середины лежат на окружности девяти точек, которая также проходит через основания высот всех четырёх возможных треугольников.

Центр окружности девяти точек расположен в середине отрезка, соединяющего любую точку системы с центром описанной окружности треугольника, образованного тремя другими точками. Эта окружность касается всех 16 вписанных и вневписанных окружностей четырёх треугольников системы.

1. 1. Ортотреугольник и его свойства

При продолжении шести отрезков, соединяющих точки системы, до прямых образуется семь точек пересечения: четыре исходные точки и три основания высот. Эти три основания образуют ортотреугольник, который остаётся неизменным независимо от выбора трёх исходных точек.

Центр вписанной окружности ортотреугольника совпадает с одной из четырёх точек системы, ближайшей к центру окружности девяти точек. Остальные три точки становятся центрами вневписанных окружностей ортотреугольника. Таким образом, центры вписанной и вневписанных окружностей также образуют ортоцентрическую систему.

1. 1. Оси высот и прямые Эйлера

Каждый из четырёх возможных треугольников системы имеет свою ось высот — прямую, проходящую через точки пересечения сторон ортотреугольника с соответствующими сторонами исходного треугольника.

Прямые, соединяющие точки системы с центром окружности девяти точек, являются прямыми Эйлера для соответствующих треугольников. Если на прямой Эйлера выбрать точку с определённым соотношением, можно построить новую ортоцентрическую систему, гомотетичную исходной.

1. 1. Дополнительные свойства

1. Прямые Эйлера ортогональны осям высот системы. 2. Для отрезков, соединяющих точки системы, выполняется соотношение: сумма квадратов длин двух несмежных отрезков равна 4R², где R — радиус описанной окружности. 3. Окружность девяти точек касается 16 вписанных и вневписанных окружностей четырёх треугольников системы. 4. Любая коника, проходящая через четыре точки системы, является прямоугольной гиперболой. 5. Полярные окружности любых двух треугольников системы ортогональны.

Литература[править | править код]

Johnson R.A. Advanced Euclidean Geometry. Dover, 1960, 2007.

Ссылки[править | править код]

Вайсстайн, Эрик. Статьи об ортоцентрической системе на MathWorld.
Clark Kimberling. Encyclopedia of Triangle Centers.

Ссылки[править | править код]